不同路径
- 难度： 中等
- 通过率： 45.5%
- 题目链接：https://leetcode-cn.com/problems/unique-paths
题目描述
一个机器人位于一个 m x n 网格的左上角 （起始点在下图中标记为“Start” ）。
机器人每次只能向下或者向右移动一步。机器人试图达到网格的右下角（在下图中标记为“Finish”）。
问总共有多少条不同的路径？
例如，上图是一个7 x 3 的网格。有多少可能的路径？
说明：m 和 n 的值均不超过 100。
示例 1:
输入: m = 3, n = 2 输出: 3 解释: 从左上角开始，总共有 3 条路径可以到达右下角。 1. 向右 -> 向右 -> 向下 2. 向右 -> 向下 -> 向右 3. 向下 -> 向右 -> 向右
示例 2:
输入: m = 7, n = 3 输出: 28
解法 1 - 动态规划：
本题可用动态规划来做，用数组 m 来保存各个位置到右下角的路线数量。从右下角向左上角遍历，各个位置到右下角的路线数量为：
m[i][j] = m[i+1][j] + m[i][j+1]
在遍历中考虑一下边界即可。
from collections import defaultdict
class Solution:
def uniquePaths(self, m, n):
"""
:type m: int
:type n: int
:rtype: int
"""
dp = defaultdict(int)
dp[(m-1,n-1)] = 1
for col in range(n-1, -1, -1):
for row in range(m-1, -1, -1):
if row < m-1:
dp[(row, col)] += dp[(row+1, col)]
if col < n-1:
dp[(row, col)] += dp[(row, col+1)]
return dp[(0,0)]
解法 2 - 排列组合
另外，从左上角走到右下角一个需要走 m+n-2 步，其中向下走 m-1 步，向右走 n-1 步，因此一共有 C(m+n-1,m-1) 中路线。
# C(n, k)
def comb(self, n, k):
m = n + 1
nterms = min(k, n - k)
numerator = 1
denominator = 1
for j in range(1, nterms + 1):
numerator *= m - j
denominator *= j
return numerator // denominator
class Solution:
def uniquePaths(self, m, n):
return comb(m+n-2, n-1)