礼物的最大价值
题目描述
在一个 m*n 的棋盘的每一格都放有一个礼物，每个礼物都有一定的价值（价值大于 0）。你可以从棋盘的左上角开始拿格子里的礼物，并每次向右或者向下移动一格、直到到达棋盘的右下角。给定一个棋盘及其上面的礼物的价值，请计算你最多能拿到多少价值的礼物？
示例 1:
输入:[ [1,3,1], [1,5,1], [4,2,1] ]输出:12解释: 路径 1→3→5→2→1 可以拿到最多价值的礼物
提示：
0 < grid.length <= 2000 < grid[0].length <= 200
解法：
用动态规划，计算在每个位置上可以得到的礼物价值总和的最大值。
class Solution {
public:
int maxValue(vector<vector<int>>& grid) {
int n_rows = grid.size();
int n_cols = grid[0].size();
for(int row=0;row<n_rows;row++){
for(int col=0;col<n_cols;col++){
int n = 0;
if(row-1 >= 0){
n = grid[row-1][col];
}
if(col-1 >= 0){
n = max(n, grid[row][col-1]);
}
grid[row][col] += n;
}
}
return grid.back().back();
}
};
上面这种方法，使用原矩阵作为动态规划的 dp 矩阵，这会修改输入数据，如果要求不修改输入。那就需要创建一个 dp 矩阵。上面的方法中 dp 的大小是 m*n。但其实可以使用一维的向量来存储中间值。
使用一个向量 dp，存储在每一列上所能得到的最大值。因为在每个点上，移动方向只能是向右或者向下。如果向右，那么 dp[i] = dp[i-1] + grid[row][i]。如果向下移动，那么 dp[i] = dp[i] + grid[row][i]。
所以在每个点上 (row, i)，只需要做如下更新 dp[i] = max(dp[i], dp[i-1]) + grid[row][i]。
class Solution {
public:
int maxValue(vector<vector<int>>& grid) {
int n_rows = grid.size();
int n_cols = grid[0].size();
vector<int> dp(n_cols, 0);
for(int row=0;row<n_rows;row++){
for(int col=0;col<n_cols;col++){
int n = 0;
if(col > 0){
n = max(dp[col], dp[col-1]);
}else{
n = dp[col];
}
dp[col] = n + grid[row][col];
}
}
return dp.back();
}
};